[수1 개념] 1. 지수 -1. 거듭제곱근의 개수

수1 개념의 첫번째 단원입니다!

지수라는 개념 자체는 중학교 2학년 때 처음 배우게 되는데요. 중학교 때 배운 지수 법칙의 그 지수를 배우는 단원입니다. 어렵지 않으니 차근차근 함께 공부해보도록 합시다.

수1 목차

지수로그함수삼각함수수열
1. 지수7. 삼각함수의 정의12. 등차수열
2. 로그8. 삼각함수의 기본성질13. 등비수열
3. 상용로그9. 삼각함수의 그래프14. 수열의 합
4. 지수함수와 로그함수10. 삼각방정식과 삼각부등식15. 수학적 귀납법
5. 지수방정식과 로그방정식11. 삼각형과 삼각함수 
6. 지수부등식과 로그부등식  

[수1 개념] 1-1 거듭제곱근

(1) 거듭제곱근의 뜻

2를 3번 곱하는 것은 \(2 \times 2 \times 2 \) 로 나타낼 수도 있지만, \(2^3 \) 으로 나타낼 수도 있습니다. 이렇게 같은 숫자를 여러번 곱하는 것을 “거듭제곱” 이라고 표현합니다.

2을 3제곱한 결과가 8이라는 것을 우리는 알고 있습니다. 이때 2는 8의 세제곱근이라고 할 수 있는데요. 즉 \(x^n =a \)인 상황에서 우리는 \(x\)를 \(a\)의 \(n\)제곱근이라고 표현할 수 있습니다. 예시를 몇 가지 들어봅시다.

ex1) 4의 3제곱은 64 <-> 4는 64의 3제곱근

ex2) -3의 제곱은 9 <-> -3은 9의 제곱근

개념1
\(x^n =a \) 일 때 \(x\)를 \(a\)의 \(n\)제곱근이라고 한다.

(2) 거듭제곱근의 개수

앞에 든 예시에서 -3을 9의 제곱근이라고 했습니다. 그런데 우리는 9의 제곱근을 하나 더 알고 있죠? 바로 3입니다! 이렇듯 거듭제곱근의 개수는 1개가 아니고 상황에 따라 달라지게 됩니다.

우선 확실하게 짚고 넘어가 볼게요. \(x^n =a \)인 상황에서 우리는 \(x\)를 \(a\)의 \(n\)제곱근이라고 표현할 수 있다고 배웠습니다. 이 때 \(x\)의 개수가 결국 \(a\)의 \(n\) 제곱근의 개수가 됩니다. 그런데 \(x^n =a \)라는 식은 “방정식” 이라고 볼 수 있지 않나요? 혹시 잊어버리신 분들을 위해 간단하게 “방정식”에 대해 복습하고 넘어가겠습니다.

복습
등식이란 등호를 포함한 식을 말한다. 예를 들어 \(x^2-3=5\), \(a=5\), \(3=8\)은 모두 등호 \(=\)를 포함하므로 등식이다. 등식은 방정식과 항등식으로 나뉜다.

방정식은 참이 될 수도 있고 거짓이 될 수도 있는 식을 말한다. \(x-3=2\)라는 식의 경우 x가 5일 때는 참이지만 x가 2일 때는 거짓이므로 방정식이라고 볼 수 있다.

항등식은 항상 참인 식을 말한다. \(2(x-1)=2x-2\)라는 식의 경우 x에 어떤 값을 넣든 항상 참이 되므로 항등식이라고 볼 수 있다.

다시 돌아와서, \(x^n =a \)를 방정식이라고 본다면 결국 거듭제곱근 \(x\)의 개수는 곧 방정식의 근의 개수와 같아집니다. 이때 이 방정식은 \(n\)차 방정식이라고 볼 수 있으므로, 근의 개수도 \(n\)개가 되는 겁니다!

개념2
\(n\)제곱근의 개수는 n개이다.

(3) 거듭제곱근 중 실수인 것의 개수

자 지금까지 배운 바에 따르면, 23의 세제곱근은 3개, 네제곱근은 4개, 7제곱근은 7개, 287제곱근은 287개라고 할 수 있습니다. 그런데 이렇게 하면 사실 너무 쉽지 않나요?! 그래서 이번에는 그냥 거듭제곱근의 개수가 아닌, 그 중 실수인 것의 개수를 세보려고 합니다.

예시를 들어볼게요. 16의 4제곱근은 몇 개인가요? 4개죠! 바로 나와야 합니다. 그럼 4개의 제곱근이 뭔지 구해볼까요? \(x^4 =16\)에서 \(x^2=4\) 또는 \(x^2=-4\)이므로 \(x=2, -2, 2i, -2i\) 이렇게 4개라는 것을 찾을 수 있습니다. 실수가 2개 허수가 2개네요!

n제곱근의 개수는 쉽게 n이라고 할 수 있지만 그 중 실수인 것의 개수는 다른 방법으로 찾아야 한다는 뜻이 됩니다. 우리가 앞서서 a의 n제곱근의 개수는 \(x^n =a \)라는 방정식의 근의 개수와 같다고 했던 것 기억하시나요? 방정식의 근의 개수는 그래프를 그려서 교점의 개수로 찾을 수 있습니다. 따라서 우리는 \(y=x^n\)의 그래프와 \(y=a\)라는 그래프를 그려보고 교점이 몇 개인지 체크해보려고 합니다.

1) n이 짝수인 경우

n이 짝수인 경우 \(y=x^n\)의 그래프는 어떻게 생겼을까요? 쉽게 생각해보면, n이 2일 때 이차함수 그래프 개형을 떠올려 보시면 됩니다.

수1 개념 거듭제곱근의 개수 1

a의 부호에 따라 교점의 개수가 달라지는 것이 보이시나요? \(a>0\)일 때는 교점이 2개, \(a=0\)일 때는 교점이 1개, \(a<0\)일 때는 교점이 0개라는 것을 확인할 수 있습니다.

2) n이 홀수인 경우

n이 홀수인 경우 대표적으로 n이 3일 때 \(y=x^3\)의 그래프 개형을 떠올려 보시면 됩니다.

수1 개념 거듭제곱근의 개수2

이 경우 a의 부호와 상관 없이 교점의 개수가 항상 1개인 것을 확인할 수 있습니다.

이를 요약하면 다음과 같이 정리할 수 있습니다.

개념3 거듭제곱근의 개수는 다음과 같다.

\(a>0\)\(a=0\)\(a<0\)
n이 짝수2개 (\(x=\sqrt[n]{a}\), \(-\sqrt[n]{a}\))1개 (\(x=0\))0개 ()
n이 홀수1개 (\(x=\sqrt[n]{a}\))1개 (\(x=0\))1개 (\(x=\sqrt[n]{a}\))

여기까지 해서 거듭제곱근이란 무엇인지, 그 뜻과 개수에 대한 내용을 정리해봤는데요. 분홍색으로 체크해둔 개념 내용은 여러분이 이 단원을 공부한다면 반드시 알아야하는 내용들입니다. 꼭 기억해두시고 다음 시간에는 이어서 거듭제곱근의 계산 성질에 대해서 공부해보도록 하겠습니다.

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