[수1 개념] 1. 지수 -2. 거듭제곱근의 계산

수1 개념 1. 지수 썸네일

수1 개념의 첫번째 단원인 지수에서, 첫 내용인 거듭제곱근에 대해서 지난 시간에 이어서 계속 다뤄보려고 합니다. 지난 시간에는 거듭제곱근의 뜻과 표현, 그리고 개수에 대한 내용을 다뤄봤다면 오늘은 거듭제곱근을 계산에 적용시켜보려고 해요.

수1 목차

지수로그함수삼각함수수열
1. 지수7. 삼각함수의 정의12. 등차수열
2. 로그8. 삼각함수의 기본성질13. 등비수열
3. 상용로그9. 삼각함수의 그래프14. 수열의 합
4. 지수함수와 로그함수10. 삼각방정식과 삼각부등식15. 수학적 귀납법
5. 지수방정식과 로그방정식11. 삼각형과 삼각함수 
6. 지수부등식과 로그부등식  

[수1 개념] 1-1 거듭제곱근

(4) 거듭제곱근의 계산

거듭제곱근의 계산 법칙들을 몇 가지 정리해보겠습니다.

개념1 거듭제곱근의 계산법칙
\(a>0, b>0,\)이고, \(m, n\)이 2 이상의 정수일 때
① \(\sqrt[n]{a} \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab} \)
② \(\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}} \)
③ \(\sqrt[n]{a}^m = \sqrt[n]{a^m} \)
④ \(\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a} = \sqrt[n]{\sqrt[m]{a}} \)
⑤ \(\sqrt[np]{a^p} = \sqrt[n]{a} \)

①과 ②는 간단히 말하면 거듭제곱근의 n 자리에 같은 숫자가 오는 경우에는 안에 있는 수끼리 자유롭게 곱하거나 나눌 수 있다는 것을 의미합니다. 예를 들면 다음과 같은 계산이 가능하겠죠!

ex1) \(\sqrt[3]{2} \times \sqrt[3]{4} = \sqrt[3]{8} =2 \)

ex2) \(\sqrt[3]{81} \div \sqrt[3]{3} = \sqrt[3]{27} =3 \)

그렇다면 \(\sqrt[3]{2} \times \sqrt[4]{3}\) 와 같이 n 자리에 서로 다른 숫자가 오는 경우에는 어떻게 계산할 수 있을까요? 이럴 땐 ⑤ 성질을 활용할 수 있습니다. n 자리에 최소 공배수가 오도록 만들어 주는거죠! 3과 4의 최소공배수는 12이므로 둘 다 12제곱근 형태로 바꿔봅시다!

\(\sqrt[3]{2} = \sqrt[3\times4]{2^4} = \sqrt[12]{16} \)
\(\sqrt[4]{3} = \sqrt[4\times3]{3^3} = \sqrt[12]{27} \)
\(\sqrt[3]{2} \times \sqrt[4]{3} = \sqrt[12]{16} \times \sqrt[12]{27} = \sqrt[12]{432}\)

이렇게 결과가 나오게 됩니다. 이해되시나요?? 오늘 배울 내용은 여기까지 입니다! 내용이 짧고 어렵지 않은 대신 예제 문제들을 여러번 풀어보면서 내용을 자신의 것으로 소화할 수 있기를 바랍니다.

이렇게 거듭제곱근에 대해서 공부를 해봤는데요, 이제 지수에 대해서 한 번만 더 공부하면 1단원 지수 내용은 마무리가 될 것 같습니다! 다음 시간에는 지수법칙과 지수의 확장에 대해서 공부해보도록 할게요!

[수1 개념] 1. 지수 -1. 거듭제곱근의 개수

수1 개념 1. 지수 썸네일

수1 개념의 첫번째 단원입니다!

지수라는 개념 자체는 중학교 2학년 때 처음 배우게 되는데요. 중학교 때 배운 지수 법칙의 그 지수를 배우는 단원입니다. 어렵지 않으니 차근차근 함께 공부해보도록 합시다.

수1 목차

지수로그함수삼각함수수열
1. 지수7. 삼각함수의 정의12. 등차수열
2. 로그8. 삼각함수의 기본성질13. 등비수열
3. 상용로그9. 삼각함수의 그래프14. 수열의 합
4. 지수함수와 로그함수10. 삼각방정식과 삼각부등식15. 수학적 귀납법
5. 지수방정식과 로그방정식11. 삼각형과 삼각함수 
6. 지수부등식과 로그부등식  

[수1 개념] 1-1 거듭제곱근

(1) 거듭제곱근의 뜻

2를 3번 곱하는 것은 \(2 \times 2 \times 2 \) 로 나타낼 수도 있지만, \(2^3 \) 으로 나타낼 수도 있습니다. 이렇게 같은 숫자를 여러번 곱하는 것을 “거듭제곱” 이라고 표현합니다.

2을 3제곱한 결과가 8이라는 것을 우리는 알고 있습니다. 이때 2는 8의 세제곱근이라고 할 수 있는데요. 즉 \(x^n =a \)인 상황에서 우리는 \(x\)를 \(a\)의 \(n\)제곱근이라고 표현할 수 있습니다. 예시를 몇 가지 들어봅시다.

ex1) 4의 3제곱은 64 <-> 4는 64의 3제곱근

ex2) -3의 제곱은 9 <-> -3은 9의 제곱근

개념1
\(x^n =a \) 일 때 \(x\)를 \(a\)의 \(n\)제곱근이라고 한다.

(2) 거듭제곱근의 개수

앞에 든 예시에서 -3을 9의 제곱근이라고 했습니다. 그런데 우리는 9의 제곱근을 하나 더 알고 있죠? 바로 3입니다! 이렇듯 거듭제곱근의 개수는 1개가 아니고 상황에 따라 달라지게 됩니다.

우선 확실하게 짚고 넘어가 볼게요. \(x^n =a \)인 상황에서 우리는 \(x\)를 \(a\)의 \(n\)제곱근이라고 표현할 수 있다고 배웠습니다. 이 때 \(x\)의 개수가 결국 \(a\)의 \(n\) 제곱근의 개수가 됩니다. 그런데 \(x^n =a \)라는 식은 “방정식” 이라고 볼 수 있지 않나요? 혹시 잊어버리신 분들을 위해 간단하게 “방정식”에 대해 복습하고 넘어가겠습니다.

복습
등식이란 등호를 포함한 식을 말한다. 예를 들어 \(x^2-3=5\), \(a=5\), \(3=8\)은 모두 등호 \(=\)를 포함하므로 등식이다. 등식은 방정식과 항등식으로 나뉜다.

방정식은 참이 될 수도 있고 거짓이 될 수도 있는 식을 말한다. \(x-3=2\)라는 식의 경우 x가 5일 때는 참이지만 x가 2일 때는 거짓이므로 방정식이라고 볼 수 있다.

항등식은 항상 참인 식을 말한다. \(2(x-1)=2x-2\)라는 식의 경우 x에 어떤 값을 넣든 항상 참이 되므로 항등식이라고 볼 수 있다.

다시 돌아와서, \(x^n =a \)를 방정식이라고 본다면 결국 거듭제곱근 \(x\)의 개수는 곧 방정식의 근의 개수와 같아집니다. 이때 이 방정식은 \(n\)차 방정식이라고 볼 수 있으므로, 근의 개수도 \(n\)개가 되는 겁니다!

개념2
\(n\)제곱근의 개수는 n개이다.

(3) 거듭제곱근 중 실수인 것의 개수

자 지금까지 배운 바에 따르면, 23의 세제곱근은 3개, 네제곱근은 4개, 7제곱근은 7개, 287제곱근은 287개라고 할 수 있습니다. 그런데 이렇게 하면 사실 너무 쉽지 않나요?! 그래서 이번에는 그냥 거듭제곱근의 개수가 아닌, 그 중 실수인 것의 개수를 세보려고 합니다.

예시를 들어볼게요. 16의 4제곱근은 몇 개인가요? 4개죠! 바로 나와야 합니다. 그럼 4개의 제곱근이 뭔지 구해볼까요? \(x^4 =16\)에서 \(x^2=4\) 또는 \(x^2=-4\)이므로 \(x=2, -2, 2i, -2i\) 이렇게 4개라는 것을 찾을 수 있습니다. 실수가 2개 허수가 2개네요!

n제곱근의 개수는 쉽게 n이라고 할 수 있지만 그 중 실수인 것의 개수는 다른 방법으로 찾아야 한다는 뜻이 됩니다. 우리가 앞서서 a의 n제곱근의 개수는 \(x^n =a \)라는 방정식의 근의 개수와 같다고 했던 것 기억하시나요? 방정식의 근의 개수는 그래프를 그려서 교점의 개수로 찾을 수 있습니다. 따라서 우리는 \(y=x^n\)의 그래프와 \(y=a\)라는 그래프를 그려보고 교점이 몇 개인지 체크해보려고 합니다.

1) n이 짝수인 경우

n이 짝수인 경우 \(y=x^n\)의 그래프는 어떻게 생겼을까요? 쉽게 생각해보면, n이 2일 때 이차함수 그래프 개형을 떠올려 보시면 됩니다.

수1 개념 거듭제곱근의 개수 1

a의 부호에 따라 교점의 개수가 달라지는 것이 보이시나요? \(a>0\)일 때는 교점이 2개, \(a=0\)일 때는 교점이 1개, \(a<0\)일 때는 교점이 0개라는 것을 확인할 수 있습니다.

2) n이 홀수인 경우

n이 홀수인 경우 대표적으로 n이 3일 때 \(y=x^3\)의 그래프 개형을 떠올려 보시면 됩니다.

수1 개념 거듭제곱근의 개수2

이 경우 a의 부호와 상관 없이 교점의 개수가 항상 1개인 것을 확인할 수 있습니다.

이를 요약하면 다음과 같이 정리할 수 있습니다.

개념3 거듭제곱근의 개수는 다음과 같다.

\(a>0\)\(a=0\)\(a<0\)
n이 짝수2개 (\(x=\sqrt[n]{a}\), \(-\sqrt[n]{a}\))1개 (\(x=0\))0개 ()
n이 홀수1개 (\(x=\sqrt[n]{a}\))1개 (\(x=0\))1개 (\(x=\sqrt[n]{a}\))

여기까지 해서 거듭제곱근이란 무엇인지, 그 뜻과 개수에 대한 내용을 정리해봤는데요. 분홍색으로 체크해둔 개념 내용은 여러분이 이 단원을 공부한다면 반드시 알아야하는 내용들입니다. 꼭 기억해두시고 다음 시간에는 이어서 거듭제곱근의 계산 성질에 대해서 공부해보도록 하겠습니다.

[수2 개념] 0. 수2 목차

수2 개념 목차

수2는 정규 교육과정상 고등학교 2학년 2학기에 배우게 되는 과목입니다. 수1과 마찬가지로 수능에 직접적으로 출제되는 과목이면서, 문이과 할 것 없이 모든 학생들이 시험을 보는 공통과목이기도 합니다. 선택과목에 따른 유불리를 줄이기 위해서 선택과목보다 공통과목에서 변별력 있는 킬러 문항이 출제되는 경향이 있으니 더더욱 꼼꼼하게 대비하여 공부해야합니다.

수1 수2 차이가 큰 편이기 때문에, 수2 개념을 정리하기 전에 먼저 수2가 어떤 과목이고 어떤 목차로 이루어져있는지 살펴보도록 합시다.

수2 목차

함수의 극한과 연속다항함수의 미분다항함수의 적분
1. 함수의 극한3. 함수의 미분9. 부정적분
2. 함수의 연속4. 곡선의 접선과 미분10. 정적분
 5. 극대 극소와 미분11. 정적분으로 정의된 함수
 6. 최대 최소와 미분12. 넓이와 적분
 7. 방정식 부등식과 미분13. 속도 거리와 적분
 8. 속도 가속도와 미분 

수2는 크게 3개의 단원으로 나눌 수 있습니다. 대단원 각각의 이름을 보면서 혹시 공통점이 느껴지시나요? 대단원명에 모두 “함수”가 들어간다는 것이 공통점입니다. 즉 수2에서는 모든 단원을 통틀어서 “함수”에 대해서 공부하게 된다는 건데요. 따라서 수2는 대단원별 연계성이 없었던 수1과 달리 단원간 연계성이 아주 크고, 함수와 그래프에 대한 이해도가 굉장히 중요합니다.

또 수2의 특징은 처음 개념을 배우는 학생들이 수1에 비해 좀 더 난이도가 쉽다고 느끼는 것 같아요. 수1에서는 새로 배우는 개념이나 연산이 많은 반면 수2에서 배우는 개념들은 서로 연결이 되어있다보니 그렇게 느끼는 것 같습니다. 다만 실제로 출제되는 문제들을 보면 아주 어려운 킬러문제들은 수1보다 수2에 많은 편입니다. 처음 배울땐 수1이 어렵지만 반복할수록 수2가 어려워진다는 의견이 많은 것도 이런 이유 때문입니다.

개념을 처음 배울 때는 기초적인 것들 위주로 이해를 하게 되지만, 수2는 반복하면서 함수의 특성에 대해서 좀 더 깊게, 문제풀이 친화적으로 이해할 수 있게 됩니다. 따라서 수2 킬러문제들을 풀기 위해서는 교과서 개념들도 물론 중요하지만, 그 외에 문제풀이에 필요한 여러가지 실전 개념들을 같이 알아두시면 더욱 도움이 됩니다. 이 부분에 대해서도 차차 다뤄볼 예정이니 함께 꾸준히 공부해보도록 합시다!

1. 함수의 극한과 연속

수2 목차 1. 함수의 연속과 불연속

첫번째 단원인 함수의 극한과 연속은 말그대로 함수의 극한과 함수의 연속을 공부하는 단원입니다. 함수의 극한이란 쉽게 말하면 이렇게 설명할 수 있을 것 같습니다. 위 그래프에서 \( y=g(x) \)라는 함수가 있는데요. 이 함수는 x가 1일 때 함숫값으로 0을 갖습니다.

그런데 만약에 x가 1은 아닌데 1에 아주 가까운 값이라고 해봅시다. 예를 들면 x=0.9999999… 인 경우나 x=1.00000… 같은 경우를 생각해볼 수 있겠죠? 이 때 g(x)의 값이 뭔지 정확히 알 수는 없지만 대략적으로 1에 가까운 값을 가질 거라고 알 수 있습니다. 이런 경우에 이 1이 바로 극한이 되는 겁니다.

짧게 설명하자니 어렵게 느껴지실 수 있겠지만, 정말 간단한 내용입니다. 다음 개념 포스팅에서 좀 더 쉬운 예시로 시작해서 차근차근 이해시켜 드릴테니 지금 당장 이해가 안가더라도 너무 걱정하실 필요는 없습니다.

함수의 연속은 정말 쉽게 설명해보겠습니다. 위 그림들을 봤을 때 함수가 연속 같은가요? 불연속 같은가요? 정답은 두 함수 모두 불연속입니다. 정확히 말하면 \(f(x)\)는 x=0, x=2일 때 불연속이고 \(g(x)\)는 x=1일 때 불연속인데요. 두 함수가 끊겨 있는 것이 보이시나요? 이렇게 끊겨 있는 경우 불연속, 끊기지 않고 부드럽게 연결될 때 연속이라고 할 수 있습니다. 물론 정확한 정의는 개념을 정리하면서 다시 알려드리도록 하겠습니다.

극한과 연속은 개념적으로 헷갈리고 추상적인 부분들이 있어서 깊게 이해하려고 하면 오히려 어려워지는 단원입니다. 하지만 정말 단순하게 정의 위주로 받아들이고 문제 풀이에 적용할 수만 있다면 정말 어렵지 않은 단원입니다. 또한 무한대같은 흥미로운 주제들에 대해서 처음 공부하는 단원이기도 하니 관심이 있으시다면 재미있게 공부하실 수 있을 겁니다.

 

2. 다항함수의 미분

수2 목차 2. 삼차함수 그래프 개형

두번째 단원인 다항함수의 미분에서는 드디어 교육과정상 처음으로 미분을 공부하게 됩니다. 말만 들어도 설레지 않나요? 저는 중학교 시절 고등학교 언니 오빠들이 미적분을 공부하는게 너무 멋있어 보였기 때문에, 제가 처음 미적분을 배우게 됐을때 굉장히 설렜던 기억이 납니다. 뭔가 어려워 보이고 그만큼 간지가 난다고 생각했던 것 같아요. ㅋㅋ

수2에서 배우는 미적분은 미적분의 정말 빙산의 일각이기는 합니다. 모든 함수를 다루는 것이 아닌 가장 기초적인 다항함수만 다루기 때문인데요. 다항함수란 우리가 아는 일차함수, 이차함수, 삼차함수 등을 말합니다.

3단원에서 미분의 정의와 미분법을 배우고 나면 4단원부터 8단원까지 내용은 전부 미분을 활용하는 내용입니다. 접선을 찾고, 그래프를 그리고, 방부등식을 푸는 등 다양한 내용들이 있는데 이렇게 활용이 많다면 너무 어렵지 않을까? 걱정이 되실 수도 있어요. 하지만 전혀 그렇지 않습니다. 강사 생활을 하면서 대부분 학생들은 오히려 1~3단원을 어려워하면 했지 4~8단원은 몇몇 포인트들을 빼면 굉장히 수월하게 이해했습니다.

특히 미분 단원의 재미있는 점은 이 단원을 공부하고 나면 여러분이 1, 2차 함수 뿐만 아니라 3, 4차를 넘어 모든 종류의 다항함수 그래프를 그릴 수 있는 능력자가 된다는 점입니다! 시험에서는 주로 3차함수와 4차함수가 출제되지만 저는 미분을 공부하면서 다양한 함수의 그래프를 직접 그릴 수 있게 된다는 점이 굉장히 흥미로웠던 기억이 있습니다. 여러분도 그 재미를 같이 느껴볼 수 있으면 좋겠어요!

 

3. 다항함수의 적분

수2 목차 3. 곡선과 직선으로 둘러싸인 부분의 넓이

마지막 단원인 다항함수의 적분에서는 적분이 무엇인지, 적분을 어떻게 하는지, 적분을 어떻게 쓰는지 정의, 성질, 활용을 배우게 됩니다.

미분의 키워드가 그래프 그리기라면 적분의 키워드는 넓이인데요. 적분 개념 자체가 넓이에서 파생된만큼 가장 중요하다고 볼 수 있습니다. 무슨 말이냐하면, 어떤 함수를 적분할 수 있다는 뜻은 곧 그 함수의 그래프와 직선 사이, 또는 그 함수와 다른 함수의 그래프로 둘러싸인 도형의 넓이를 구할 수 있다는 뜻이기 때문이죠.

한마디로 말하면, 곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구할 수 있게 된다는 뜻입니다! 위 그림에서 색칠된 부분의 넓이를 구하는 것 쯤은, 여러분이 적분을 다 배우고 나면 정말 손쉽게 할 수 있게 될 거라고 장담합니다.

적분은 간단하게 말하면 미분의 반대라고 볼 수 있기 때문에, 미분을 꼼꼼하게 잘 공부했다면 크게 어려운 내용이 없는데요. 다만 계산량이 좀 많은 편이라 처음 공부하는 학생들이 조금 힘들어하는 편이기는 합니다. 그렇지만 계산량을 줄일 수 있는 여러가지 공식들도 많이 존재하니까요! 여러분이 열심히 실력을 업그레이드하기만 한다면 정말 즐겁게 공부할 수 있을거라고 생각합니다.

 

 

이렇게 수2 모든 단원의 목차와 단원별 특징을 함께 알아봤는데요. 수1과 달리 수2에서는 제가 흥미롭다, 재밌다는 말을 훨씬 많이 썼던 것 같아요. 본의 아니게 사심이 드러났는데요. ㅎㅎ 여러분도 공부하다보면 어떤 단원은 힘들고 이해가 안가지만 어떤 단원은 재미있고 쉽게 느껴지는 부분들이 있을 거예요. 물론 힘든 단원도 열심히 공부해서 극복해야겠지만 쉽고 재미있게 느껴지는 단원이 한두개라도 있으면 공부하는데 좋은 자극과 동기부여가 될 거라고 생각합니다.

[수1 개념] 0. 수1 목차

수1개념 목차

수1은 정규 교육과정상 고등학교 2학년 1학기에 배우게 되는 과목입니다. 또한, 수능에 직접적으로 출제되는 첫 번째 수학 과목이기도 합니다. (고등학교 1학년 때 배우는 고등수학 상, 하의 경우 수능에 직접적으로 출제되지 않습니다.) 고1 수학에 비해 갑작스럽게 난이도가 상승하게 되어 힘들어하는 학생들도 많이 봤는데요.

수1 개념을 정리하기 앞서서, 수1은 어떤걸 공부하는 과목이고 어떤 순서로 공부하게 되는지 목차를 살펴보려고 합니다.

수1 목차

지수로그함수삼각함수수열
1. 지수7. 삼각함수의 정의12. 등차수열
2. 로그8. 삼각함수의 기본성질13. 등비수열
3. 상용로그9. 삼각함수의 그래프14. 수열의 합
4. 지수함수와 로그함수10. 삼각방정식과 삼각부등식15. 수학적 귀납법
5. 지수방정식과 로그방정식11. 삼각형과 삼각함수 
6. 지수부등식과 로그부등식  

수1의 경우 3개의 대단원에서 지수로그함수, 삼각함수, 수열 세 가지의 전혀 다른 개념과 새로운 함수 (수열도 일종의 함수라고 본다면) 를 배우게 됩니다. 따라서 단원간 연계성이 크지 않은데요, 이것은 장점이 될 수도 있고 단점이 될 수도 있습니다.

장점이라고 본다면, 단원간 연계가 크지 않기 때문에 삼각함수를 어려워하는 학생이라도 그 다음 단원인 수열 진도를 나가는데 큰 무리가 없습니다. 분리하여 공부하기에 편리하다는 점이 장점이라고 볼 수 있는 것이죠.

그러나 사실 단점이라고 본다면, 모든 단원이 배울때마다 새롭기 때문에 처음 공부하는 학생들이 많이 낯설어할 수 있습니다. 로그에 좀 적응한 것 같으면 갑자기 삼각함수를 배우고, 삼각함수에 좀 적응하려고 하면 갑자기 수열을 배우는 식이죠. 따라서 수1은 처음 공부할 때 특히 더 어렵지만 반복해서 공부하면 훨씬 수월해지는 과목이기도 합니다.

현장에서 아이들을 가르칠때도 수1은 처음 공부하면서 힘들더라도 웬만하면 버텨보고 개념 수업을 한번 더 들어보라고 얘기를 합니다. 너무 어렵게 느껴졌던 내용들도 두번째 들으면 용어와 연산에 익숙해지면서 훨씬 수월하게 이해가 간다는 학생들이 많았어요. 그러니까 너무 겁먹지 말고 반복해서 꾸준히 공부해보시기 바랍니다.

1. 지수로그함수

지수함수 그래프

첫번째 단원인 지수로그함수에서는 말그대로 지수함수와 로그함수라는 새로운 함수를 배우게 됩니다. 이 때 지수라는 개념은 중학교 2학년 1학기에 공부를 하기 때문에 어느정도 익숙할 수 있는데요. 로그라는 개념은 수1에서 완전히 처음 등장하는 개념이기 때문에 처음 공부하는 학생들이 많이 헷갈려하는 개념이기도 합니다.

따라서 이 단원을 공부할 때는 처음 배우는 개념의 연산을 충분히 연습해보는 것이 중요합니다. 특히, 첫 선행으로 공부하는 학생들의 경우 마음 급하게 1~2단원 지수 로그 연산 내용을 넘어갔다가 4~6단원의 본격적인 함수와 방부등식 내용을 공부할 때 좌절하는 경우를 정말 많이 봐왔습니다. 그런 일이 충분히 연습하면서 마치 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈을 하듯 익숙하게 지수 로그를 이용한 연산을 다룰 수 있어야 합니다.

4단원 지수로그함수에서 그래프 관련된 문제가 주로 수능이나 내신에서 고난도 문제로 출제되고 있으며, 그래프 이해도가 낮은 학생들이 많이 어려워하는 단원이기도 합니다.

그렇지만 기본적으로 대부분 학생들이 수1에서 가장 만만하게 생각하는 단원이기도 하니 겁먹지 말고 차근차근 공부하며 정복해나갈 수 있으면 좋겠습니다.

 

2. 삼각함수

삼각함수 그래프

두번째 단원인 삼각함수에서는 삼각함수가 무엇인지 그 정의부터 삼각함수를 도형에 활용하는 내용까지 공부하게 되는데요. 중학교 3학년 2학기에 공부하는 삼각비 내용과 직접적으로 연계되는 내용이기 때문에 3학년 2학기 내용을 제대로 공부하지 않은 학생, 또는 공부했지만 잊어버린 학생들이라면 핵심적인 내용은 꼭 복습해두고 시작하기를 추천합니다.

이 단원은 기본적으로 기하, 즉 도형과 관련된 단원이기 때문에 도형 감각이 약한 학생들이 많이 어려워합니다. 사실 도형 감각이 좋은 학생보다는 당연히 약한 학생들이 많기 때문에 대부분 학생들이 수1에서 가장 어렵다고 꼽는 단원이기도 합니다.

삼각함수 단원의 고난도 문제는 주로 마지막 활용 단원에서 출제되는데요. 복잡한 그림에서 여러가지 도형 관련된 성질과 삼각함수 관련된 법칙을 적용시켜서 변의 길이나 각의 크기 등을 찾는 문제가 출제됩니다. 이런 문제들은 사실 개념 수업 한번 듣고 공부한다고 바로 풀리는 문제들은 아닙니다. 유형 문제집부터 심화 킬러 문제집까지 다양한 문제집을 풀어보면서 도형에 대한 감각을 익히고 도형을 보는 눈을 키우는 것이 가장 중요하다고 볼 수 있습니다.

 

3. 수열

자연수의 거듭제곱의 합 공식

1, 4, 7, 10, 13, … 이렇게 수가 나열되어 있는 경우 그 다음에 올 수가 뭘까요? 16이라고 바로 느낌이 오셨다면 수열을 공부할 준비가 되셨다는 걸 의미합니다.

수열을 쉽게 말하면 수의 나열이라고 볼 수 있습니다. 마지막 단원인 수열 단원에서는 이렇게 나열된 수들을 보고 규칙성을 찾아서 그 규칙성을 식으로 나타내고, 또는 그 수열의 합을 계산하는 등의 내용을 공부하게 됩니다.

처음 배우는 등차, 등비수열의 경우 내용이 흥미롭고 난이도도 쉬운 편이라 처음 배우는 학생들이 수열 단원을 가장 좋아하는 경우가 많은데요. 다만 마지막 단원인 수열의 합과 수학적 귀납법은 비교적 복잡한 개념들을 배우고 계산량도 많아 갑자기 어려워졌다며 배신감을 느끼기도 합니다.

그렇다 하더라도 수열 단원이 정말 흥미로운 단원이라는 건 변하지 않는 사실인데요. 다만 수능이나 모의고사에서 수1에서 가장 어려운 문제를 출제할 때 주로 수열 단원에서 출제되기 때문에, 그만큼 킬러 문제들이 많이 쌓여 있는 단원이기도 합니다. 무슨 뜻이냐면, 끝장나게 어려운 문제들이 아주 많다는 뜻입니다. 따라서 삼각함수와 마찬가지로 문제 풀이 연습을 정말 많이 하셔야 합니다. 개념 수업 한번으로는 배울 수 없는 수많은 문제 풀이 스킬들이 존재하는 단원이기도 하니, 독학으로 힘든 부분은 학원이나 과외 선생님께 도움을 받아서 공부하는 것도 좋은 방법이 될 것 같습니다.

 

 

이렇게해서 수1의 목차를 정리하고 단원별 특징을 정리해봤는데요. 앞으로 공부해야 할 과목의 특성을 잘 알아두면 더욱 똑똑하게 전략을 세워서 효율적으로 공부할 수 있을거라고 생각합니다. 여러분이 수학을 쉽게 이해하고 효율적으로 공부할 수 있도록 앞으로도 여러가지 노하우들을 함께 공유해보도록 하겠습니다.

 

고등수학에 필요한 중등도형 총정리 1. 삼각형

고등수학에 필요한 중등도형 총정리

수학을 공부하다보면 이전에 배웠던 내용을 잊어버리는 경험을 자주 하게 됩니다.

특히 중학생 때 배웠던 도형 공식들이 정말 많았는데, 막상 고등수학에 적용시켜서 문제를 풀자고 하니 기억이 나지 않는 경우가 많습니다. 하지만 중등 도형의 기초를 잘 닦아두면, 수능때까지 계속해서 활용할 수 있기 때문에 꼭 잘 정리해서 기억해둘 필요가 있습니다. 그렇다고 중등 수학을 처음부터 다시 공부하기는 쉽지 않은 일이죠. 수능에 필요한 도형만 정리할 수 있다면 좀 더 쉽게 공부할 수 있을 것 같습니다.

따라서 이번 글에서는 고등수학에 꼭 필요한 중등도형 기초개념을 다시 한 번 정리해보도록 하겠습니다.

중등도형 I. 삼각형

1. 삼각형의 정의와 성질

삼각형은 세 개의 변과 세 개의 각으로 이루어진 도형입니다. 삼각형이 갖는 기본적인 성질들은 다음과 갖습니다.

  • 삼각형의 두 변의 길이의 합은 나머지 한 변의 길이보다 항상 커야합니다. 즉 세 변의 길이를 a, b, c 라고 했을 때 a+b>c, b+c>a, c+a>b를 항상 만족합니다.
  • 삼각형의 세 내각의 크기의 합은 180° 입니다.
  • 삼각형의 세 외각의 크기의 합은 360° 입니다.

 

2. 특수한 삼각형의 성질

이등변삼각형

중등도형 이등변삼각형

이등변 삼각형은 두 변의 길이가 같은 삼각형입니다. 그림과 같은 삼각형에서 선분AB와 선분BC의 길이가 같다면 이등변 삼각형이라고 볼 수 있으며, 다음과 같은 성질들을 갖게 됩니다.

  • 각 B와 각 C가 같습니다.
  • 점 A를 지나고 선분 BC에 수직인 선은 선분 BC의 수직이등분선입니다.
  • 선분 BC의 수직이등분선은 점 A를 지납니다.

정삼각형

정삼각형은 세 변의 길이가 모두 같은 삼각형입니다. 정삼각형은 다음과 같은 특징을 가집니다.

  • 정삼각형의 세 내각의 크기는 모두 60° 로 동일합니다.
  • 한 변의 길이가 a인 정삼각형의 넓이는 \( {{\sqrt{3}} \over {4}} a^2 \)입니다.

3. 직각 삼각형과 피타고라스 정리

중등도형 직각삼각형

직각 삼각형은 한 내각이 90도인 삼각형입니다. 그림과 같이 각C가 90° 인 직각삼각형 ABC가 있을 때, 선분 BC, AC, AB의 길이를 각각 a, b, c라고 한다면 다음과 같은 성질을 만족하게 됩니다.

  • 각A와 각B의 크기의 합은 언제나 90° 입니다.
  • 피타고라스 정리: 직각 삼각형에서 빗변의 제곱은 나머지 두 변의 제곱의 합과 같습니다. 이를 수식으로 나타내면 다음과 같습니다. \( a^2 + b^2 = c^2 \)

4. 삼각형의 넓이

삼각형의 넓이를 구하는 공식은 여러 가지가 있습니다. 고등 과정에서 수1을 공부하게 된다면 더 많은 공식을 배우게 되겠지만, 중등 도형에서도 삼각형의 넓이 관련 공식을 3가지 정도 공부하게 됩니다.

  • (밑변의 길이) \( \times \) (높이) \( \times {1 \over 2} \)
  • 내접원의 반지름의 길이가 r일 때, \( {{1} \over {2}} r (a+b+c) \)
  • 정삼각형인 경우, \( {{\sqrt{3}} \over {4}} a^2 \)

 

이상으로 중학교에서 배우는 삼각형 개념 중에서 정말 기초적인 것들 위주로 정리해봤습니다. 삼각형의 내심과 외심, 합동과 닮음 등 좀 더 자세한 내용들에 대해서도 천천히 다뤄보도록 하겠지만 항상 중요한 것은 기초라는 것을 기억하고 오늘 정리한 내용들을 꼭 복습해서 기억해두시기 바랍니다.

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