[수1 개념] 1. 지수 -2. 거듭제곱근의 계산

수1 개념 1. 지수 썸네일

수1 개념의 첫번째 단원인 지수에서, 첫 내용인 거듭제곱근에 대해서 지난 시간에 이어서 계속 다뤄보려고 합니다. 지난 시간에는 거듭제곱근의 뜻과 표현, 그리고 개수에 대한 내용을 다뤄봤다면 오늘은 거듭제곱근을 계산에 적용시켜보려고 해요.

수1 목차

지수로그함수삼각함수수열
1. 지수7. 삼각함수의 정의12. 등차수열
2. 로그8. 삼각함수의 기본성질13. 등비수열
3. 상용로그9. 삼각함수의 그래프14. 수열의 합
4. 지수함수와 로그함수10. 삼각방정식과 삼각부등식15. 수학적 귀납법
5. 지수방정식과 로그방정식11. 삼각형과 삼각함수 
6. 지수부등식과 로그부등식  

[수1 개념] 1-1 거듭제곱근

(4) 거듭제곱근의 계산

거듭제곱근의 계산 법칙들을 몇 가지 정리해보겠습니다.

개념1 거듭제곱근의 계산법칙
\(a>0, b>0,\)이고, \(m, n\)이 2 이상의 정수일 때
① \(\sqrt[n]{a} \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab} \)
② \(\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}} \)
③ \(\sqrt[n]{a}^m = \sqrt[n]{a^m} \)
④ \(\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a} = \sqrt[n]{\sqrt[m]{a}} \)
⑤ \(\sqrt[np]{a^p} = \sqrt[n]{a} \)

①과 ②는 간단히 말하면 거듭제곱근의 n 자리에 같은 숫자가 오는 경우에는 안에 있는 수끼리 자유롭게 곱하거나 나눌 수 있다는 것을 의미합니다. 예를 들면 다음과 같은 계산이 가능하겠죠!

ex1) \(\sqrt[3]{2} \times \sqrt[3]{4} = \sqrt[3]{8} =2 \)

ex2) \(\sqrt[3]{81} \div \sqrt[3]{3} = \sqrt[3]{27} =3 \)

그렇다면 \(\sqrt[3]{2} \times \sqrt[4]{3}\) 와 같이 n 자리에 서로 다른 숫자가 오는 경우에는 어떻게 계산할 수 있을까요? 이럴 땐 ⑤ 성질을 활용할 수 있습니다. n 자리에 최소 공배수가 오도록 만들어 주는거죠! 3과 4의 최소공배수는 12이므로 둘 다 12제곱근 형태로 바꿔봅시다!

\(\sqrt[3]{2} = \sqrt[3\times4]{2^4} = \sqrt[12]{16} \)
\(\sqrt[4]{3} = \sqrt[4\times3]{3^3} = \sqrt[12]{27} \)
\(\sqrt[3]{2} \times \sqrt[4]{3} = \sqrt[12]{16} \times \sqrt[12]{27} = \sqrt[12]{432}\)

이렇게 결과가 나오게 됩니다. 이해되시나요?? 오늘 배울 내용은 여기까지 입니다! 내용이 짧고 어렵지 않은 대신 예제 문제들을 여러번 풀어보면서 내용을 자신의 것으로 소화할 수 있기를 바랍니다.

이렇게 거듭제곱근에 대해서 공부를 해봤는데요, 이제 지수에 대해서 한 번만 더 공부하면 1단원 지수 내용은 마무리가 될 것 같습니다! 다음 시간에는 지수법칙과 지수의 확장에 대해서 공부해보도록 할게요!

[수1 개념] 1. 지수 -1. 거듭제곱근의 개수

수1 개념 1. 지수 썸네일

수1 개념의 첫번째 단원입니다!

지수라는 개념 자체는 중학교 2학년 때 처음 배우게 되는데요. 중학교 때 배운 지수 법칙의 그 지수를 배우는 단원입니다. 어렵지 않으니 차근차근 함께 공부해보도록 합시다.

수1 목차

지수로그함수삼각함수수열
1. 지수7. 삼각함수의 정의12. 등차수열
2. 로그8. 삼각함수의 기본성질13. 등비수열
3. 상용로그9. 삼각함수의 그래프14. 수열의 합
4. 지수함수와 로그함수10. 삼각방정식과 삼각부등식15. 수학적 귀납법
5. 지수방정식과 로그방정식11. 삼각형과 삼각함수 
6. 지수부등식과 로그부등식  

[수1 개념] 1-1 거듭제곱근

(1) 거듭제곱근의 뜻

2를 3번 곱하는 것은 \(2 \times 2 \times 2 \) 로 나타낼 수도 있지만, \(2^3 \) 으로 나타낼 수도 있습니다. 이렇게 같은 숫자를 여러번 곱하는 것을 “거듭제곱” 이라고 표현합니다.

2을 3제곱한 결과가 8이라는 것을 우리는 알고 있습니다. 이때 2는 8의 세제곱근이라고 할 수 있는데요. 즉 \(x^n =a \)인 상황에서 우리는 \(x\)를 \(a\)의 \(n\)제곱근이라고 표현할 수 있습니다. 예시를 몇 가지 들어봅시다.

ex1) 4의 3제곱은 64 <-> 4는 64의 3제곱근

ex2) -3의 제곱은 9 <-> -3은 9의 제곱근

개념1
\(x^n =a \) 일 때 \(x\)를 \(a\)의 \(n\)제곱근이라고 한다.

(2) 거듭제곱근의 개수

앞에 든 예시에서 -3을 9의 제곱근이라고 했습니다. 그런데 우리는 9의 제곱근을 하나 더 알고 있죠? 바로 3입니다! 이렇듯 거듭제곱근의 개수는 1개가 아니고 상황에 따라 달라지게 됩니다.

우선 확실하게 짚고 넘어가 볼게요. \(x^n =a \)인 상황에서 우리는 \(x\)를 \(a\)의 \(n\)제곱근이라고 표현할 수 있다고 배웠습니다. 이 때 \(x\)의 개수가 결국 \(a\)의 \(n\) 제곱근의 개수가 됩니다. 그런데 \(x^n =a \)라는 식은 “방정식” 이라고 볼 수 있지 않나요? 혹시 잊어버리신 분들을 위해 간단하게 “방정식”에 대해 복습하고 넘어가겠습니다.

복습
등식이란 등호를 포함한 식을 말한다. 예를 들어 \(x^2-3=5\), \(a=5\), \(3=8\)은 모두 등호 \(=\)를 포함하므로 등식이다. 등식은 방정식과 항등식으로 나뉜다.

방정식은 참이 될 수도 있고 거짓이 될 수도 있는 식을 말한다. \(x-3=2\)라는 식의 경우 x가 5일 때는 참이지만 x가 2일 때는 거짓이므로 방정식이라고 볼 수 있다.

항등식은 항상 참인 식을 말한다. \(2(x-1)=2x-2\)라는 식의 경우 x에 어떤 값을 넣든 항상 참이 되므로 항등식이라고 볼 수 있다.

다시 돌아와서, \(x^n =a \)를 방정식이라고 본다면 결국 거듭제곱근 \(x\)의 개수는 곧 방정식의 근의 개수와 같아집니다. 이때 이 방정식은 \(n\)차 방정식이라고 볼 수 있으므로, 근의 개수도 \(n\)개가 되는 겁니다!

개념2
\(n\)제곱근의 개수는 n개이다.

(3) 거듭제곱근 중 실수인 것의 개수

자 지금까지 배운 바에 따르면, 23의 세제곱근은 3개, 네제곱근은 4개, 7제곱근은 7개, 287제곱근은 287개라고 할 수 있습니다. 그런데 이렇게 하면 사실 너무 쉽지 않나요?! 그래서 이번에는 그냥 거듭제곱근의 개수가 아닌, 그 중 실수인 것의 개수를 세보려고 합니다.

예시를 들어볼게요. 16의 4제곱근은 몇 개인가요? 4개죠! 바로 나와야 합니다. 그럼 4개의 제곱근이 뭔지 구해볼까요? \(x^4 =16\)에서 \(x^2=4\) 또는 \(x^2=-4\)이므로 \(x=2, -2, 2i, -2i\) 이렇게 4개라는 것을 찾을 수 있습니다. 실수가 2개 허수가 2개네요!

n제곱근의 개수는 쉽게 n이라고 할 수 있지만 그 중 실수인 것의 개수는 다른 방법으로 찾아야 한다는 뜻이 됩니다. 우리가 앞서서 a의 n제곱근의 개수는 \(x^n =a \)라는 방정식의 근의 개수와 같다고 했던 것 기억하시나요? 방정식의 근의 개수는 그래프를 그려서 교점의 개수로 찾을 수 있습니다. 따라서 우리는 \(y=x^n\)의 그래프와 \(y=a\)라는 그래프를 그려보고 교점이 몇 개인지 체크해보려고 합니다.

1) n이 짝수인 경우

n이 짝수인 경우 \(y=x^n\)의 그래프는 어떻게 생겼을까요? 쉽게 생각해보면, n이 2일 때 이차함수 그래프 개형을 떠올려 보시면 됩니다.

수1 개념 거듭제곱근의 개수 1

a의 부호에 따라 교점의 개수가 달라지는 것이 보이시나요? \(a>0\)일 때는 교점이 2개, \(a=0\)일 때는 교점이 1개, \(a<0\)일 때는 교점이 0개라는 것을 확인할 수 있습니다.

2) n이 홀수인 경우

n이 홀수인 경우 대표적으로 n이 3일 때 \(y=x^3\)의 그래프 개형을 떠올려 보시면 됩니다.

수1 개념 거듭제곱근의 개수2

이 경우 a의 부호와 상관 없이 교점의 개수가 항상 1개인 것을 확인할 수 있습니다.

이를 요약하면 다음과 같이 정리할 수 있습니다.

개념3 거듭제곱근의 개수는 다음과 같다.

\(a>0\)\(a=0\)\(a<0\)
n이 짝수2개 (\(x=\sqrt[n]{a}\), \(-\sqrt[n]{a}\))1개 (\(x=0\))0개 ()
n이 홀수1개 (\(x=\sqrt[n]{a}\))1개 (\(x=0\))1개 (\(x=\sqrt[n]{a}\))

여기까지 해서 거듭제곱근이란 무엇인지, 그 뜻과 개수에 대한 내용을 정리해봤는데요. 분홍색으로 체크해둔 개념 내용은 여러분이 이 단원을 공부한다면 반드시 알아야하는 내용들입니다. 꼭 기억해두시고 다음 시간에는 이어서 거듭제곱근의 계산 성질에 대해서 공부해보도록 하겠습니다.

[수1 개념] 0. 수1 목차

수1개념 목차

수1은 정규 교육과정상 고등학교 2학년 1학기에 배우게 되는 과목입니다. 또한, 수능에 직접적으로 출제되는 첫 번째 수학 과목이기도 합니다. (고등학교 1학년 때 배우는 고등수학 상, 하의 경우 수능에 직접적으로 출제되지 않습니다.) 고1 수학에 비해 갑작스럽게 난이도가 상승하게 되어 힘들어하는 학생들도 많이 봤는데요.

수1 개념을 정리하기 앞서서, 수1은 어떤걸 공부하는 과목이고 어떤 순서로 공부하게 되는지 목차를 살펴보려고 합니다.

수1 목차

지수로그함수삼각함수수열
1. 지수7. 삼각함수의 정의12. 등차수열
2. 로그8. 삼각함수의 기본성질13. 등비수열
3. 상용로그9. 삼각함수의 그래프14. 수열의 합
4. 지수함수와 로그함수10. 삼각방정식과 삼각부등식15. 수학적 귀납법
5. 지수방정식과 로그방정식11. 삼각형과 삼각함수 
6. 지수부등식과 로그부등식  

수1의 경우 3개의 대단원에서 지수로그함수, 삼각함수, 수열 세 가지의 전혀 다른 개념과 새로운 함수 (수열도 일종의 함수라고 본다면) 를 배우게 됩니다. 따라서 단원간 연계성이 크지 않은데요, 이것은 장점이 될 수도 있고 단점이 될 수도 있습니다.

장점이라고 본다면, 단원간 연계가 크지 않기 때문에 삼각함수를 어려워하는 학생이라도 그 다음 단원인 수열 진도를 나가는데 큰 무리가 없습니다. 분리하여 공부하기에 편리하다는 점이 장점이라고 볼 수 있는 것이죠.

그러나 사실 단점이라고 본다면, 모든 단원이 배울때마다 새롭기 때문에 처음 공부하는 학생들이 많이 낯설어할 수 있습니다. 로그에 좀 적응한 것 같으면 갑자기 삼각함수를 배우고, 삼각함수에 좀 적응하려고 하면 갑자기 수열을 배우는 식이죠. 따라서 수1은 처음 공부할 때 특히 더 어렵지만 반복해서 공부하면 훨씬 수월해지는 과목이기도 합니다.

현장에서 아이들을 가르칠때도 수1은 처음 공부하면서 힘들더라도 웬만하면 버텨보고 개념 수업을 한번 더 들어보라고 얘기를 합니다. 너무 어렵게 느껴졌던 내용들도 두번째 들으면 용어와 연산에 익숙해지면서 훨씬 수월하게 이해가 간다는 학생들이 많았어요. 그러니까 너무 겁먹지 말고 반복해서 꾸준히 공부해보시기 바랍니다.

1. 지수로그함수

지수함수 그래프

첫번째 단원인 지수로그함수에서는 말그대로 지수함수와 로그함수라는 새로운 함수를 배우게 됩니다. 이 때 지수라는 개념은 중학교 2학년 1학기에 공부를 하기 때문에 어느정도 익숙할 수 있는데요. 로그라는 개념은 수1에서 완전히 처음 등장하는 개념이기 때문에 처음 공부하는 학생들이 많이 헷갈려하는 개념이기도 합니다.

따라서 이 단원을 공부할 때는 처음 배우는 개념의 연산을 충분히 연습해보는 것이 중요합니다. 특히, 첫 선행으로 공부하는 학생들의 경우 마음 급하게 1~2단원 지수 로그 연산 내용을 넘어갔다가 4~6단원의 본격적인 함수와 방부등식 내용을 공부할 때 좌절하는 경우를 정말 많이 봐왔습니다. 그런 일이 충분히 연습하면서 마치 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈을 하듯 익숙하게 지수 로그를 이용한 연산을 다룰 수 있어야 합니다.

4단원 지수로그함수에서 그래프 관련된 문제가 주로 수능이나 내신에서 고난도 문제로 출제되고 있으며, 그래프 이해도가 낮은 학생들이 많이 어려워하는 단원이기도 합니다.

그렇지만 기본적으로 대부분 학생들이 수1에서 가장 만만하게 생각하는 단원이기도 하니 겁먹지 말고 차근차근 공부하며 정복해나갈 수 있으면 좋겠습니다.

 

2. 삼각함수

삼각함수 그래프

두번째 단원인 삼각함수에서는 삼각함수가 무엇인지 그 정의부터 삼각함수를 도형에 활용하는 내용까지 공부하게 되는데요. 중학교 3학년 2학기에 공부하는 삼각비 내용과 직접적으로 연계되는 내용이기 때문에 3학년 2학기 내용을 제대로 공부하지 않은 학생, 또는 공부했지만 잊어버린 학생들이라면 핵심적인 내용은 꼭 복습해두고 시작하기를 추천합니다.

이 단원은 기본적으로 기하, 즉 도형과 관련된 단원이기 때문에 도형 감각이 약한 학생들이 많이 어려워합니다. 사실 도형 감각이 좋은 학생보다는 당연히 약한 학생들이 많기 때문에 대부분 학생들이 수1에서 가장 어렵다고 꼽는 단원이기도 합니다.

삼각함수 단원의 고난도 문제는 주로 마지막 활용 단원에서 출제되는데요. 복잡한 그림에서 여러가지 도형 관련된 성질과 삼각함수 관련된 법칙을 적용시켜서 변의 길이나 각의 크기 등을 찾는 문제가 출제됩니다. 이런 문제들은 사실 개념 수업 한번 듣고 공부한다고 바로 풀리는 문제들은 아닙니다. 유형 문제집부터 심화 킬러 문제집까지 다양한 문제집을 풀어보면서 도형에 대한 감각을 익히고 도형을 보는 눈을 키우는 것이 가장 중요하다고 볼 수 있습니다.

 

3. 수열

자연수의 거듭제곱의 합 공식

1, 4, 7, 10, 13, … 이렇게 수가 나열되어 있는 경우 그 다음에 올 수가 뭘까요? 16이라고 바로 느낌이 오셨다면 수열을 공부할 준비가 되셨다는 걸 의미합니다.

수열을 쉽게 말하면 수의 나열이라고 볼 수 있습니다. 마지막 단원인 수열 단원에서는 이렇게 나열된 수들을 보고 규칙성을 찾아서 그 규칙성을 식으로 나타내고, 또는 그 수열의 합을 계산하는 등의 내용을 공부하게 됩니다.

처음 배우는 등차, 등비수열의 경우 내용이 흥미롭고 난이도도 쉬운 편이라 처음 배우는 학생들이 수열 단원을 가장 좋아하는 경우가 많은데요. 다만 마지막 단원인 수열의 합과 수학적 귀납법은 비교적 복잡한 개념들을 배우고 계산량도 많아 갑자기 어려워졌다며 배신감을 느끼기도 합니다.

그렇다 하더라도 수열 단원이 정말 흥미로운 단원이라는 건 변하지 않는 사실인데요. 다만 수능이나 모의고사에서 수1에서 가장 어려운 문제를 출제할 때 주로 수열 단원에서 출제되기 때문에, 그만큼 킬러 문제들이 많이 쌓여 있는 단원이기도 합니다. 무슨 뜻이냐면, 끝장나게 어려운 문제들이 아주 많다는 뜻입니다. 따라서 삼각함수와 마찬가지로 문제 풀이 연습을 정말 많이 하셔야 합니다. 개념 수업 한번으로는 배울 수 없는 수많은 문제 풀이 스킬들이 존재하는 단원이기도 하니, 독학으로 힘든 부분은 학원이나 과외 선생님께 도움을 받아서 공부하는 것도 좋은 방법이 될 것 같습니다.

 

 

이렇게해서 수1의 목차를 정리하고 단원별 특징을 정리해봤는데요. 앞으로 공부해야 할 과목의 특성을 잘 알아두면 더욱 똑똑하게 전략을 세워서 효율적으로 공부할 수 있을거라고 생각합니다. 여러분이 수학을 쉽게 이해하고 효율적으로 공부할 수 있도록 앞으로도 여러가지 노하우들을 함께 공유해보도록 하겠습니다.

 

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